15 paradossi che vi faranno scoppiare la testa

Prestandoci attenzione, possiamo notare che siamo circondati da enigmi impossibili da risolvere. Abbiamo stilato per voi una lista di 15 paradossi che possono confondervi o magari chissà, illuminarvi!

“Io so di non sapere” è una delle frasi più celebri di Socrate.

Questa affermazione è essa stessa un paradosso che dimostra le complessità delle affermazioni autoreferenziali, ma suggerisce anche una visione cruciale di uno dei fondatori della filosofia occidentale: devi sempre interrogarti su ciò che realmente pensi di sapere. In effetti, più da vicino guarderai, e più inizierai a notare dei paradossi tutt’intorno a te. Abbiamo scelto i nostri preferiti dalla “epica” lista di Wikipedia contenente piú di 2000 paradossi.

Questo paradosso dicotomico è stato attribuito a Zenone, antico filosofo greco, e si ritiene che venne formulato come dimostrazione del fatto che l’universo è singolare e che il cambiamento, incluso il moto, è impossibile (secondo quanto ipotizzato dal maestro di Zenone, Parmenide).

Per anni questo paradosso è stato ampiamente respinto.

Da un punto di vista matematico, la soluzione – formalizzata nel XIX secolo – è quella di accettare che la somma di un mezzo, più un quarto, più un ottavo, più un sedicesimo e via dicendo sia pari a uno. Questa soluzione ricalca l’affermazione secondo cui 0.999… periodico è uguale a 1.

Ma questa soluzione teorica non risponde alla domanda su come in realtà un oggetto possa raggiungere la propria destinazione. La spiegazione è più complessa e ancor oggi un po’ oscura, ed è basata sulle teorie del XX secolo secondo cui la materia, il tempo e lo spazio non sono divisibili all’infinito.

Questo è chiamato il paradosso della freccia, ed è un’altra delle argomentazioni di Zenone contro il movimento. In questo caso il problema è che in un singolo istante di tempo trascorrono zero secondi e, di conseguenza, è pari a zero anche il moto. Egli sostiene che se il tempo fosse composto da istanti, il fatto che il movimento non si verifichi in un qualsiasi specifico istante significa che il movimento non avviene del tutto.

Al pari del paradosso dicotomico di cui sopra, il paradosso della freccia in realtà è riconducibile alle moderne conoscenze sulla meccanica quantistica. Nel suo libro “Reflections on Relativity” Kevin Brown sottolinea che, nell’ambito della relatività ristretta, un oggetto in movimento è diverso da un oggetto in stato di quiete. La relatività richiede che oggetti in movimento a velocità diverse appaiano diversi a un osservatore esterno, e che essi stessi abbiano diverse percezioni del mondo che li circonda.

Altro grande classico dell’antica Grecia, il paradosso della nave di Teseo mira alle contraddizioni relative all’identità. Venne così descritto da Plutarco:

La nave con la quale Teseo e la gioventù di Atene tornarono da Creta aveva trenta remi, e venne conservata dagli ateniesi addirittura sino all’epoca di Demetrio Falereo. Per farlo essi rimossero le vecchie assi che si stavano degradando, sostituendole con legno nuovo e robusto, sino al punto che la nave divenne un esempio famoso tra i filosofi in merito alla questione logica delle cose che crescono; da una parte alcuni sostenevano che la nave era rimasta la stessa, altri invece che non lo era più.

Visto che ne stiamo parlando, come può il male esistere se Dio è onnipotente? E come può esserci il libero arbitrio, se Dio è onnisciente?

Questi sono solamente alcuni dei molti paradossi che si possono incontrare quando si cerca di applicare la logica alla definizione di Dio.

Alcune persone potrebbero citare questi paradossi come dimostrazioni per non credere nell’esistenza di un essere supremo; tuttavia, altri potrebbero sostenere che essi sono irrilevanti o, per qualche motivo, privi di valore.

Partendo da un problema formulato nel XVII secolo, ecco un altro dei molti paradossi legati all’infinito e alla geometria.

La cosiddetta “Tromba di Torricelli” è formata dalla curva y = 1/x che viene fatta ruotare intorno all’asse orizzontale, come mostrato nella figura. Utilizzando tecnologie di calcolo che permettono di determinare le aree e i volumi delle forme costruite in questo modo, è possibile osservare che la tromba di lunghezza infinita in realtà ha un volume finito uguale a π, ma una superficie infinita.

Come affermato da un articolo di MathWorld, ciò significa che la tromba potrebbe contenere un volume finito di pittura ma potrebbe richiedere un quantitativo infinito di vernice per poter ricoprire la sua intera superficie.

Ecco uno dei molti paradossi autoreferenziali che hanno fatto fare passare notti insonni a molti matematici ed esperti di logica.

Un esempio di termine eterologico è la parola “verbo”, che non è un verbo (al contrario di “nome”, che invece è esso stesso un nome). Un altro esempio è “lungo”, che non è una parola lunga (“corto”, invece, è una parola breve).

Perciò, “eterologico” è una parola eterologica? Se si trattasse di una parola che non descrive sé stessa, allora essa descriverebbe sé stessa; ma se al contrario la parola descrivesse sé stessa, allora non sarebbe una parola che descrive sé stessa.

Questo paradosso è legato al paradosso di Russell, nel quale ci si chiede se l’insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a sé stessi appartiene a sé stesso. Attraverso la creazione di insiemi autodistruttivi come questi, Bertrand Russell ed altri dimostrarono l’importanza di stabilire regole accurate per la creazione degli insiemi, ponendo così le basi per la matematica del ventesimo secolo.

Comma 22, altresì noto come Catch 22, è un romanzo satirico sulla seconda guerra mondiale scritto da Joseph Heller. Il libro prende il nome da un articolo dell’immaginario codice militare che descrive la situazione in cui qualcuno ha bisogno di qualcosa che può essere ottenuto solamente dimostrando di non averne bisogno – un particolare tipo di paradosso autoreferenziale, dunque.

Il protagonista del romanzo, John Yossarian, scopre il paradosso riguardo alla valutazione dei piloti ma alla fine si imbatte ovunque in regole paradossali (e oppressive).

Dopotutto, 1 è il primo numero naturale diverso da zero; 2 è il numero primo più piccolo; 3 è il primo dei numeri primi dispari; 4 è il numero composto più piccolo; e via dicendo. E quando finalmente raggiungerai un numero che non sembra avere nulla di interessante, allora quel numero sarà interessante proprio in virtù del fatto che si tratta del primo numero non interessante.

Il paradosso dei Numeri Interessanti (o paradosso di Berry) si basa sull’imprecisata definizione di “interessante”, che lo rende in un certo senso una versione più frivola di altri paradossi come, ad esempio, il paradosso dell'eterologicità o il paradosso di Russell, fondati sulle autoreferenze contraddittorie.

L’esperto in computazione quantistica Nathaniel Johnston ha trovato un’intelligente soluzione al paradosso: invece di basarsi sulla nozione intuitiva di “interessante”, come specificato nella versione originale del paradosso, il ricercatore ha definito come interessante un numero naturale che compare da qualche parte nella On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, una raccolta di decine di migliaia di sequenze matematiche come ad esempio i numeri primi, la successione di Fibonacci o le terne pitagoriche.

Basandosi su questa definizione, come suggerito da un primo post di Johnston del giugno 2009, il primo numero non interessante – ovvero il numero intero più piccolo che non compare in nessuna di queste sequenze – era 11630. Dal momento che nuove sequenze vengono continuamente aggiunte all’enciclopedia, alcune delle quali includono numeri che prima non erano stati considerati interessanti, come Johnston suggerisce nel suo aggiornamento del novembre 2013 attualmente il più piccolo numero intero non interessante è 14228.

Le implicazioni logiche talvolta portano ad interpretazioni contro-intuitive, di cui il paradosso del bevitore è un ottimo esempio.

A prima vista il paradosso sembra suggerire che una sola persona faccia in modo che tutte le altre presenti nel bar bevano.

In realtà, quello che sta dicendo è che sarebbe impossibile bere per chiunque nel bar a meno che ogni singolo avventore stesse bevendo. Di conseguenza, c’è almeno un cliente nel bar (ovvero l’ultimo che non sta bevendo) che, iniziando a bere, farebbe in modo che tutti nel bar stessero bevendo.

Il paradosso di Banach-Tarski si basa principalmente sulle molte e contro-intuitive proprietà degli insiemi infiniti e delle rotazioni geometriche.

I pezzi nei quali viene suddivisa la sfera hanno una forma molto strana, e il paradosso funziona solamente per una sfera astratta di tipo matematico. Per quanto potrebbe sembrare bello prendere una mela, tagliuzzarla e riassemblarla in modo tale da averne un’altra da offrire a un amico, le sfere fisiche costituite da materia non possono essere suddivise al pari delle sfere puramente matematiche.

Anche lavorando con le buone, vecchie quantità finite la matematica può portare a risultati decisamente bizzarri.

Per comprendere il paradosso della patata bisogna guardare da vicino alla matematica che sta dietro al contenuto non-acquoso della patata. Poiché il tubero è per il 99% acqua, le componenti solide rappresentano il restante 1%. La patata parte da un peso di 100 grammi, perciò significa che essa contiene 1 grammo di sostanza secca. Quando la patata sottoposta a essiccazione arriva ad avere il 98% dei acqua, quel grammo di sostanza secca sarà il 2% del peso del tubero. Un grammo è pari al 2% di 50 grammi, perciò questo dovrebbe essere il nuovo peso della patata.

Altro sorprendente frutto della matematica, il paradosso del compleanno deriva dall’attenta analisi delle probabilità coinvolte. Se due persone si trovano nella stessa stanza, allora c’è una probabilità di 364/365 che esse non siano nate lo stesso giorno (se ignoriamo i lassi temporali e diamo per scontato che tutti i compleanni siano uguali), dal momento che vi sono 364 giorni che possono essere diversi tra il giorno del compleanno della prima persona e il compleanno della seconda.

Se nella stanza ci sono tre persone, allora le probabilità che tutte abbiano compleanni diversi è pari a 364/365 moltiplicato per 363/365. Analogamente a quanto detto prima, conoscendo il giorno in cui è nata la prima persona, ci sono altri 364 giorni in cui la seconda potrebbe compiere gli anni, e questo fa in modo che per la terza rimangano 363 opzioni di essere nata in un giorno diverso rispetto alle prime due.

Continuando con questo ragionamento, e arrivando a 23 persone, le probabilità che tutti e 23 siano nati in giorni diversi scende al di sotto del 50%. Di conseguenza, le probabilità che almeno due di loro festeggino lo stesso giorno il compleanno è maggiore.

Sembra impossibile ma, considerando la matematica, l’affermazione è reale.

Il paradosso dell’amicizia è causato dal fatto che, nella maggior parte dei social network, la maggior parte degli utenti ha pochi amici mentre un numero ristretto di utenti conta su un elevatissimo numero di amicizie. Queste persone così propense al contatto possono perciò apparire tra gli amici di persone con un numero limitato di contatti, causando di conseguenza l’innanzarsi del numero medio di amicizie degli “amici degli amici”.

I viaggi nel tempo, se possibili, potrebbero portare a situazioni estremamente bizzarre.

Questo paradosso è l’esatto opposto del classico paradosso del nonno: invece che tornare indietro nel tempo per evitare a qualcuno di tornare indietro nel tempo, alcune informazioni o oggetti vengono trasportati indietro nel tempo diventando versioni più “giovani” di sé stessi, consentendo così in un secondo tempo di viaggiare a ritroso nel tempo. A questo punto ci si potrebbe chiedere: come ha fatto prima di tutto quell’informazione o oggetto ad esistere?

Comune nella fantascienza, questo paradosso – conosciuto con il termine inglese bootstrap paradox – deve il suo nome a un racconto scritto da Robert Heinlein; recentemente è comparso anche nel film “Interstellar” (2014).

Infine, qualcuno vede il “silenzio” del nostro universo come un paradosso.

Uno dei presupposti alla base dell’astronomia è che la Terra sia un pianeta abbastanza comune, di un sistema solare abbastanza comune, di una galassia abbastanza comune, e che non vi sia nulla di realmente unico dal punto di vista cosmico che ci riguardi. Il satellite Kepler della NASA ha trovato prove della possibile esistenza di 11 miliardi di pianeti simili alla Terra nella nostra galassia. Di conseguenza, una forma di vita simile alla nostra deve essersi evoluta da qualche parte, non troppo lontano da noi (cosmicamente parlando).

Ma nonostante lo sviluppo di telescopi sempre più potenti, non abbiamo ancora alcuna prova dell’esistenza nell’universo di altre civiltà tecnologiche. Le civiltà sono rumorose: quella umana trasmette segnali radio e TV che sono inequivocabilmente artificiali. Una civiltà come la nostra dovrebbe lasciare tracce che dovremmo essere in grado di trovare.

Inoltre una civiltà che si è evoluta milioni di anni fa (abbastanza recentemente, in una prospettiva cosmica) dovrebbe avere avuto tempo a sufficienza per cominciare perlomeno a colonizzare la galassia, e perciò dovrebbero esserci prove sparse della sua esistenza. Con un tempo sufficiente a disposizione, una civiltà che intendesse colonizzare l’intera galassia potrebbe farlo nel giro di qualche milione di anno.

Il fisico Enrico Fermi, da cui deriva il nome del paradosso, si è semplicemente domandato: “Loro, dove sono?” nel bel mezzo di una discussione con i suoi colleghi durante una pausa pranzo. Una soluzione del paradosso cerca di smontare l’idea che la Terra sia comune, indicando al contrario che la vita complessa è estremamente rara nell’universo. Un’altra teoria ipotizza che le civiltà tecnologiche inevitabilmente tendono ad autodistruggersi attraverso guerre nucleari o devastazioni ambientali.

Una soluzione più ottimistica è l’idea che gli alieni si stiano intenzionalmente nascondendo da noi, attendendo che diventiamo più maturi dal punto di vista sociale e tecnologico. Un’ultima ipotesi alternativa è che le tecnologie aliene siano così avanzate al punto che noi non siamo nemmeno in grado di riconoscerle.